光學百科-ABCD矩陣(ABCD matrix)

定義：
一個2*2矩陣，用來描述光學元件對激光光束的作用。
ABCD矩陣或者光線傳輸矩陣是一個2*2矩陣，是描述某一光學元件在激光光束中的作用。可以用于光線光學，其中光以幾何的射線傳輸，或者在高斯光束傳輸時可以用到。ABCD矩陣計算時通常需要采用傍軸近似，也就是光束角度或者發散角在計算過程中是非常小的。 

光線光學 
最初，為了計算橫向偏移為 r，偏移角為θ 的幾何光束的傳輸發展了這一概念。當角度很小時（參閱傍軸近似），在經過光學元件之前與之后，坐標r和θ 之間具有線性關系。下面的矩陣方程可以用來計算該光學元件對參數的改變情況： 

 

其中加引號的量（方程左側）代表光束經過光學元件后的坐標值。ABCD矩陣是每一光學元件的特征量。 
例如，焦距為f的薄透鏡的ABCD矩陣為： 

 

這表明偏移r 是不變的，而偏移角θ 的變化正比于r。 
在自由空間中傳輸d 距離，用矩陣表示為： 

 

表明偏移角不變，而偏移r根據角度會增大或者減小。 
下面有更多關于ABCD矩陣的例子。 
光束在電介質中傳輸時，可以采用一個更方便的修正后的光束矢量，即將角度變為其與折射率的乘積。這在有些情況下可以簡化矩陣。 

高斯光束的傳輸 
ABCD矩陣可用來計算光學元件對高斯光束參數的影響。為了簡化計算需引入參數q，包含了光束半徑 w和波前的曲率半徑R的信息： 

 

下面的方程表示參數q經過光學元件后的變化： 

 

重要光學元件的ABCD矩陣 
下面給出一些常用光學元件的ABCD矩陣。 
空氣中傳輸距離d后： 

 

（如果在透明介質中傳輸，長度需要除以折射率，如果采用以上提到的修正的定義，那么下面的成分，也就是角度，需要乘以折射率。） 
焦距為f的透鏡（f大于0代表會聚透鏡）： 

 

彎曲半徑為R的鏡子（>0代表凹透鏡），水平面上的入射角為θ： 

 

其中Re?=?R?cos?θ 是在切平面上（水平方向），而矢狀面（豎直方向）則有Re?=?R?/?cos?θ。 
管： 

 

其中徑向變化的折射率為：
 
 

許多教科書中給出了很多其它光學元件的ABCD矩陣。 

多個光學元件的結合 
當光束通過幾個光學元件后（包含其間的空氣），這表明矢量 (r θ) 需要乘以多個矩陣。可以將這些單個矩陣的乘積用另一個矩陣表示。一定要注意的是，第一個透過的光學元件的矩陣是處于矩陣乘積的最右側。 

典型應用 
ABCD矩陣算法的一些典型應用包括： 

• 很多時候需要研究激光光束通過一些光學裝置后的情況。光纖的幾何路徑和光束半徑的演化都可以通過這種算法計算出來。 

• 光束在諧振腔中循環一周后參數的變化也可以由ABCD矩陣描述。橫向的諧振腔模式可以通過矩陣元素得到。 

• 一種擴展的算法采用了ABCDEF矩陣（3*3矩陣，其中包含一些常數），它可以用來計算激光器諧振腔的校準靈敏度。 

注意不要將ABCD矩陣與計算多層介質膜的反射和透射性質的矩陣相混淆。