在紅外應用中使用彎月透鏡的優勢
與許多其他形狀的光學透鏡相比，彎月透鏡很少提供成品。彎月透鏡主要用于聚焦小光斑或準直應用，而平凸透鏡通常具有*的性價比。不過，也有一些情況，彎月透鏡具有明顯優良的性能，而價格只稍微高一點.
球面像差
由于透鏡的球面性質，球面像差會在不同的距離從光軸產生平行光線，而不在同一點相交（圖 1）。雖然可以使用多個鏡片來糾正球面像差，但對于材料成本遠遠高于可見材料的許多紅外系統來說，大程度減少鏡片的數量。無需使用多個鏡片，通過將透鏡塑造成優良形狀，可以將單個透鏡的球面像差小化.
圖 1:球面像差
對于固定的折射率和透鏡厚度，存在無限數量的半徑組合，這可用來創建特定焦距的透鏡。這些半徑組合產生不同的透鏡形狀，因光線在穿過透鏡時的彎曲度，直接導致了球面像差和慧差.
可以用 Coddington 形狀因子 C（方程式 1 和圖 2）來描述透鏡形狀.
(1) 
圖 2:
不同透鏡配置的 Coddington 形狀因子
通過使用薄透鏡像差方程（采用無限遠處的物體和透鏡停止位置），我們可以得出產生小球面像差的條件（方程式 2）.
(2) 
假設可以保持恒定的波長，那么可將產生小球面像差的指數和形狀因子之間的關系可視化（圖 3）.
圖 3:
優良形狀因子作為折射率的一個函數
彎月設計的益處
當在可視環境中工作時，玻璃指數一般在 1.5 到 1.7 之間，小球面像差的形狀幾乎是平凸的。然而，在紅外線環境中，通常使用像鍺這樣的更高指標材料。鍺的指標為 4.0，通過很大減少球面像差，獲得彎月透鏡設計的很大益處.
當光線在兩個界面上均勻彎曲時，就會發生小的球面像差。雖然鍺彎月透鏡的一個表面會使光線的彎曲程度略高于類似的 PCX 透鏡，但 PCX 透鏡的第二個表面會導致光線更加彎曲，從而導致球面像差整體增加.
如圖 4 所示，其將 25 x 25 mm 鍺 PCX 透鏡與 25 x 25mm 鍺彎月透鏡的性能相比較，很容易看到 PCX 透鏡相比彎月透鏡如何使光線相對透鏡表面更顯著地彎曲。彎曲度的增加導致了球差增加。鍺彎月透鏡顯示斑點尺寸急劇下降，使其更適用于要求嚴格的紅外應用.
圖 4x:25 x 25mm 鍺 PCX 透鏡 VS25 x 25mm 鍺彎月透鏡的圖表
雖然彎月透鏡仍然可以在可見的情況下提供更高的性能，但通常沒有足夠的增益來抵消增加的制造成本。圖 1 為 25 x 50mm 氟化鈣 (CaF2)PCX 透鏡與彎月透鏡在可見光譜應用中的性能比較，以及 25 x 50mm 鍺 (Ge) PCX 透鏡與彎月透鏡在紅外應用中的性能比較。使用彎月形狀時，鍺透鏡的光斑尺寸大大降低.
表 1:平凸透鏡與彎月透鏡在可見光譜和紅外應用中的光斑尺寸比較
雖然彎月透鏡可能無法在所有應用中提供益處，但可以為許多紅外應用提供巨大的成本和性能優勢，包括光譜學和熱成像.
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